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Mercredi 20 octobre 2010
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Pénetrez le monde mystique et insondable des fractals. Laissons de côté l'explicaton scientifique (que je ne saurais vous fournir) et partez pour ce voyage quasi cosmique qui vaut bien toutes les séances d'hypnose. Je vous conseille d'écouter avec la vidéo, un petit ravi shankar. Bon voyage!
Pour mieux saisir ces objets bizarres, qui sont très déchiquetés, les matheux ont introduit une définition généralisant celle de "dimension" d'un espace, et qui donne les bons résultats dans les cas "classiques" (genre une ligne est de dimension 1, un plan de dimension 2, l'espace de dimension 3, etc.). Bon, eh bien certaines fractales peuvent être de dimension non entière, genre 1.3, ou autre : ça veut dire que c'est "plus étalé qu'une ligne" mais "plus rabougri qu'un plan" ; tout ça parce que c'est tout recroquevillé sur soi-même, bien plus qu'une ligne, et donc que ça remplit presque un plan, mais pas tout à fait...
Le truc fou, et qui n'a été démontré qu'en 1990, c'est que la frontière de l'ensemble de Mandelbrot (son bord, quoi), qui ressemble à une "ligne super brisée et bien déchiquetée", a une "dimension" de 2, c'est à dire... autant qu'un plan, tellement elle est déchiquetée !
Ensuite, les matheux ont aussi d'autres définitions pour mesurer la grosseur des objets : celles de "longueur", "aire", "volume", etc. (qui sont donc autre chose que la dimension). Un segment non réduit à un point a par exemple une longueur non nulle, mais une aire nulle et un volume nul. Eh ben on ne sait pas si la frontière de l'ensemble de Mandelbrot, qui a une longueur infinie, n'aurait pas parfois une aire non nulle ! C'est une question ouverte.
m=0 : déjà discuté
0^2+0=0, la suite des nombres produits par la procédure stationne à 0, donc 0 appartient à l'ensemble de Mandelbrot.
m=2 : déjà discuté
0^2+2=2, puis 2^2+2=6, puis 6^2+2=38, oulala, ça grandit vite, pour devenir aussi grand qu'on veut si on répète la chose suffisamment de fois. Donc 2 n'appartient pas à l'ensemble de Mandelbrot.
m=i, le fameux nombre tel que i fois i égale -1.
On se rappelle qu'on calcule exactement comme si c'était des nombres réels ("normaux"), avec la règle supplémentaire i^2=-1.
On y va :
0^2+i=i,
i^2+i=-1+i,
(-1+i)^2+i=1-2i-1+i=-i,
puis (-i)^2+i=-1+i !! Ahaha!! on est revenu au stade du deuxième calcul, donc ce n'est pas la peine de continuer, on rencontre un comportement périodique, c'est à dire qu'on "boucle" sur un nombre fini de valeurs qui sont générées par la procédure.
Donc il suffit de prendre le nombre complexe "le plus long" pour trouver un fameux disque centré en 0 où toutes les valeurs vont se trouver ; le plus long ici, c'est -1+i, dont le carré de la longueur est (-1)^2+1^2=2, soit une longueur de racine de 2 (dsl, j'ai oublié dans le post plus bas la racine carrée quand je parle de la longueur). Donc tous les nombres générés par la procédure se trouvent dans un disque fermé de rayon racine de 2 centré en 0, parce que leur longueur est inférieure ou égale à racine de 2. Donc i appartient à l'ensemble de Mandelbrot.
Pour info, les nombres réels qui appartiennent à l'ensemble de Mandelbrot sont exactement ceux qui sont supérieurs ou égaux à -2 et inférieurs ou égaux à 1/4.
On peut vérifier que 1 n'appartient pas à l'ensemble de Mandelbrot, et que -1 lui appartient (parce que la suite produite dans ce cas est périodique et prend les seules valeurs -1 et 0 alternativement).
Ensuite, on prend un nombre complexe m, et on fait ka chose suivante : on part de 0, puis on calcule 0^2+m, ça fait m, puis on fait encore la même combine, à partir de m ; on calcule m^2+m, et ainsi de suite, (m^2+m)^2+m, puis ((m^2+m)^2+m)^2+m, etc. C'est à dire qu'à chaque fois, on prend le précédent qu'on élève au carré, et on lui ajoute m. On voit que si m=0, on reste tout le temps sur 0, mais si m=2, la procédure produit des nombres qui deviennent aussi grands qu'on veut à partir d'un certain rang.
Donc on a deux comportements possibles : soit, comme pour m=0, la procédure produit une suite de nombres qui restent dans un disque de rayon fini autour de 0, ce rayon dépendant de m, soit, pour d'autres valeurs de m (comme m=2) il n'est pas possible de trouver un tel disque parce que la longueur x^2+y^2 des nombres complexes tend vers l'infini.
Les nombres m tels que les nombres produits par la procédure restent dans un disque sont ceux qui appartiennent à l'ensemble de Mandelbrot. Ce n'est pas du tout évident que cet ensemble a un intérieur et un extérieur comme je l'avais dit vite fait pour "vulgariser"... mais c'était mal :).
Comprends tu dès lors dans quel embarras tu nous plonges, nous, pauvres lettreux qui frôlons l'eudème cérébral devant la moindre équation à une inconnue ?
Voici donc ce qui m'amène à te demander de réitérer ton explication, de vulgariser autant que faire se peut et surtout de nous accompagner étape par étape dans le cheminement de ta pensée. Ah et si dorénavant tu utilises le langage mathématique, n'hésite surtout pas à la traduire avec des mots !
Ensuite, deux comportements sont possibles : soit le module de vm_n reste borné pour n tendant vers l'infini, soit ce module tend vers l'infini. Ce comportement dépend de m : en effet, pour m=0, on voit par exemple qu'on reste fixe à 0, donc borné, mais pour m=2 par exemple, on diverge clairement.
Eh bien, l'ensemble de Mandelbrot est la frontière entre les m qui font qu'on reste borné (à l'intérieur), et ceux qui font diverger (à l'extérieur).